Лекция по теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей»

Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.

В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.

При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (180 0 –), третий, четвертый (180 0 -).

α и β, 0°< 90 °

Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 90 0 .

Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 90 0 .

двугранный угол между плоскостями α и β,

90º

Введем определение перпендикулярных плоскостей:

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны

Т.к. =90°

Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.

Стена и потолок.

Боковая стенка и крышка стола.

Стена и потолок

Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:

ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Докажем этот признак.

По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,

Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.

Доказательство:

1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2) Проведем в плоскости β прямую A Т перпендикулярную A Р.

Получим угол Т A М – линейный угол двугранного угла. Но угол Т A М = 90°, так как МА β. Значит, α β.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АМ α, АМβ, АМ∩=А

Доказать: αβ.

Доказательство:

1) α ∩ β = АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2) АТβ, A Т A Р.

ТАМ– линейный угол двугранного угла. ТАМ = 90°, т.к. МА β. Значит, α β.

Что и требовалось доказать

Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:

СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета

То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.

т.к. γс и сα из признака перпендикулярности γα.

Аналогично γ β

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:

Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.

Задача.

Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.

Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение:

1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.

2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.

3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:

Из ΔВКС:

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.

Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Свойства.

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней представляют собой прямоугольники.
2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми
3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Задачи и тесты по теме "Тема 7. "Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей"."

• Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
• Перпендикулярность прямой и плоскости - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс

  Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1

• Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс

  Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1

• Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

  Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1

• Перпендикулярные прямые - Начальные геометрические сведения 7 класс

  Уроков: 1 Заданий: 17 Тестов: 1

Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.

Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Из стереометрии известно условие перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к данной плоскости (или параллельна этому перпендикуляру), то она перпендикулярна к данной плоскости.

Через данную точку А можно провести бесчисленное множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости Р (рис. 3.19). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр АВ, опущенный из точки А на плоскость Р.

На эпюре (рис. 3.20) показано построение одной из плоскостей этого пучка. Прежде всего через проекции точки А проведены проекции перпендикуляра АК к данной плоскости. Построение А 1 К 1 и А 2 К 2 не вызывает затруднений, так как плоскость Р задана главными линиями. Затем через проекции той же точки А проведены проекции произвольной линии АD. Эти две пересекающиеся линии АК и АD и определяют искомую плоскость Р.

Примеры позиционных и метрических задач на плоскость

Пример 1 . В плоскости, заданной треугольником АВС, построить точку D (рис. 3.21).

Решение .

1. Необходимо в данной плоскости провести прямую. Зададим для этого две точки, заведомо лежащие в данной плоскости. Одной из таких точек может быть вершина А(А 1 ;А 2) треугольника. Вторую точку Е(Е 1 ;Е 2) зададим на стороне ВС. Через одноименные проекции А 1 и Е 1 , А 2 и Е 2 проведем прямые. Эти прямые являются проекциями прямой. Лежащей в данной плоскости.

2. На построенной прямой АЕ зададим точку D. Для этого построим D 1 ÎА 1 Е 1 и D 2 ÎА 2 Е 2 . Точка D лежит в заданной плоскости, т.к.к она принадлежит прямой АЕ, лежащей в этой плоскости

Пример 2 . Построить линию наибольшего уклона плоскости, заданной параллельными прямыми а(а 1 ; а 2) и b(b 1 ; b 2) и определить угол a между этой плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис. 3.22)

Решение

1. Проведем горизонталь h данной плоскости (см. гл.3 рис. 3.3, в). Проекциями этой горизонтали будут прямые h 1 и h 2 .
2. Проведем прямую, перпендикулярную к горизонтальной проекции горизонтали, и отметим точки С 1 - пересечения её с h 1 D 1 – са 1 . Прямая С 1 D 1 является горизонтальной проекцией линии наибольшего ската.
3. Построим фронтальные проекции С 2 и D 2 . Для этого из С 1 и D 1 проведем вертикальные линии связи до пересечения соответственно с h 2 и а 2 .
4. Прямая, соединяющая точки С 2 и D 2 , является фронтальной проекцией линии наибольшего уклона.
5. Угол a определяем из прямоугольного треугольника D 1 C 1 E 0 , построенного на С 1 D 1 как на катете. Второй катет D 0 D 1 = E 2 D 2 . Искомый угол a=ÐD 0 C 1 D 1

Пример 3 . Задана плоскость пересекающимися прямыми АВ и CD. Определить лежит ли прямая KL в этой плоскости.

Решение .

1. Обозначим точки пересечения фронтальных проекций прямых АВ и KL через 1 2 и прямых CD и KL через 2 2 .

2. Строим их горизонтальные проекции – точки 1 1 и 2 2 на горизонтальной проекции (K 1 L 1) прямой KL. Из построения видно, что точки 1(1 1 1 2) и 2(2 1 2 2) прямая KL на заданной плоскости не лежат. Следовательно, прямая KL в плоскости не лежит. Решение этой задачи можно начать и с пересечения горизонтальных проекций.

Пример 4 . В плоскости, заданной двумя параллельными прямыми АВ и CD, провести фронталь на расстоянии 15 мм от фронтальной плоскости проекций (рис. 3.24)

Решение . Проводим на расстоянии 15 мм от оси проекций параллельную ей горизонтальную проекцию (1 1 -2 2) фронтали, которая пересекает прямые А 1 В 1 и C 1 D 1 в точках 1 1 и 2 2 .

Затем находим точки 1 1 и 2 2 на прямых А 2 В 2 и C 2 D 2 и проводим через них фронтальную проекцию (1 2 2 2) фронтали.

Пример 5 . Найти прямую пересечения плоскостей Р и Q.

Решение . Плоскость Р и Q пересекаются по прямой общего положения, проходящей через точку-след (М 1 ;М 2) пересечения горизонтальных следов плоскостей. Точка-след (N 1 ;N 2) пересечения фронтальных следов плоскостей недоступна, т.к. эти следы плоскостей по заданию, в пределах чертежа не пересекаются.

Вместо точки (N 1 ;N 2) необходимо найти другую произвольную точку прямой пересечения, общую для заданных плоскостей. Для этого вводим вспомогательную плоскость R, например параллельную П которая, как известно, пересекает каждую из данных плоскостей по горизонтали. На их пересечении получаем вспомогательную точку (К 1 ;К 2), общую для данных плоскостей. Найдя эту вторую точку (К 1 ;К 2) прямой, проводим её проекцию: горизонтальную – через точки М 1 и К 1 и фронтальную через точки М 2 и К 2 .

Пример 6 . Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 3.26)

Решение . Обозначим искомую точку через точку К. Так как точка К (К 1 ;К 2) лежит на профильно-проецирующей плоскости. То её профильная проекция (К 3) должна лежать на профильном следе (Р 3) плоскости. Вместе с тем, так как эта же точка лежит и на прямой АВ, то её профильная проекция (К 3) должна лежать так же где-то на профильной проекции (А 3 В 3) прямой. Следовательно искомая точка должна лежать на их пересечении. Найдя профильный след плоскости и профильную проекцию прямой, получаем на их пересечении профильную проекцию (К 3) искомой точки. Зная профильную проекцию (К 3) искомой точки, находим две другие её проекции на одноименных проекциях прямой.

Пример 7 . Даны плоскость Р и точка А. Определить расстояние то точки до плоскости (рис. 3.27)

Решение . Опускаем из точки А (А 1 ;А 2) перпендикуляр на плоскость Р и находим его основание на этой плоскости, для чего ищем точку К (К 1 ;К 2) пересечения перпендикуляра с плоскостью. Имея проекции (А 1 К 1 ;А 2 К 2) отрезка перпендикуляра, определим его действительную величину методом прямоугольного треугольника.

Пример 8 . Даны треугольник АВС и точка К. Определить расстояние между ними. (рис. 3.28)

Решение . Опускаем из заданной точки Е (Е 1 ;Е 2) перпендикуляр на плоскость треугольника: К 1 Е 1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (К 1 Е 1 ^С 1 F 1), К 2 Е 2 перпендикулярно фронтальной проекции фронтали (К 2 Е 2 ^А 2 D 2). Находим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника (К 1 ;К 2) , определяем натуральную величину отрезка перпендикуляра (К 1 Е 1 ;К 2 Е 2) методом прямоугольного треугольника.

Глава 4

Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа)

Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).

Рис. 1

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.

Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.

Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Рис. 2

На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.

Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.

Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказать:

Рис. 3

Доказательство:

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.

Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.

Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).

Доказать:

Рис. 4

Доказательство:

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.

Напомним, что плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. А угол этот определяется так. Берут точку О на прямой С, по которой пересекаются плоскости , и проводят через нее в плоскостях прямые (рис. 1.9а). Углом между а и b и измеряется угол между . Когда этот угол прямой, то говорят, что плоскости взаимно перпендикулярны и пишут

Вы, конечно, уже заметили, что когда , то из трех прямых а, b, с любые две взаимно перпендикулярны (рис. 2.28). В частности, . Поэтому (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Аналогично,

Итак, каждая из двух взаимно перпендикулярных плоскостей содержит перпендикуляр к другой плоскости. Более того, эти перпендикуляры заполняют взаимно перпендикулярные плоскости. (рис. 2.29).

Докажем последнее утверждение. Действительно, если через любую точку плоскости а провести прямую

То (по теореме 5 о параллельности перпендикуляров).

А для признака перпендикулярности плоскостей достаточно одного перпендикуляра к плоскости.

Теорема 7. (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Пусть плоскость а содержит прямую а, перпендикулярную плоскости Р (рис. 2.28). Тогда прямая а пересекает плоскость Р в точке О. Точка О лежит на прямой С, по которой пересекаются . Проведем в плоскости Р через точку О прямую . Так как и b лежит в плоскости Р, то Следовательно,

Данный признак имеет простой практический смысл: плоскость двери, навешенной на перпендикулярный полу косяк, перпендикулярна плоскости пола при любых положениях двери (рис. 2.1). Другое практическое применение этого признака: когда требуется проверить, вертикально ли установлена плоская поверхность (стена, забор и т. п.), то это делают с помощью отвеса - веревки с грузом. Отвес всегда направлен вертикально, и стена стоит вертикально, если в любом ее месте отвес, располагаясь вдоль нее, не отклоняется.

При решении задач, в которых встречаются перпендикулярные плоскости, часто используются следующие три предложения.

Предложение 1. Прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости.

Пусть плоскости взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой С. Пусть, далее, прямая а лежит в плоскости а и (рис. 2.28). Прямая а пересекает прямую С в некоторой точке О. Проведем через точку О в плоскости Р прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как то . Поскольку , то (по теореме 2).

Второе предложение обратно первому.

Предложение 2. Прямая, имеющая общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой из них.

Пусть плоскости взаимно перпендикулярны, прямая а также прямая а имеет с плоскостью а общую точку А (рис. 2.30). Через точку А в плоскости а проведем прямую перпендикулярную прямой С - линии пересечения плоскостей . Согласно предложению Поскольку в пространстве через каждую точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная данной плоскости, то прямые а и совпадают. Так как лежит в плоскости а, то и а лежит в плоскости

Предложение 3. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Пусть две плоскости , пересекающиеся по прямой а, перпендикулярны плоскости у (рис. 2.31). Тогда через любую точку прямой а проведем прямую, перпендикулярную плоскости у. Согласно предложению 2, эта прямая лежит и в плоскости а, и в плоскости Р, т. е. совпадает с прямой а. Итак,