Многие, столкнувшись с понятием «теория вероятности», пугаются, думая, что это нечто непосильное, очень сложное. Но все на самом деле не так трагично. Сегодня мы рассмотрим основное понятие теории вероятности, научимся решать задачи на конкретных примерах.

Наука

Что же изучает такой раздел математики, как «теория вероятности»? Она отмечает закономерности и величин. Впервые данным вопросом заинтересовались ученые еще в восемнадцатом веке, когда изучали азартные игры. Основное понятие теории вероятности - событие. Это любой факт, который констатируется опытом или наблюдением. Но что же такое опыт? Еще одно основное понятие теории вероятности. Оно означает, что этот состав обстоятельств создан не случайно, а с определенной целью. Что касается наблюдения, то здесь исследователь сам не участвует в опыте, а просто является свидетелем данных событий, он никак не влияет на происходящее.

События

Мы узнали, что основное понятие теории вероятности - это событие, но не рассмотрели классификацию. Все они делятся на следующие категории:

• Достоверные.
• Невозможные.
• Случайные.

Независимо от того, какие это события, за которыми наблюдают или создают в ходе опыта, все они подвержены данной классификации. Предлагаем с каждым из видов познакомиться отдельно.

Достоверное событие

Это такое обстоятельство, перед которым сделан необходимый комплекс мероприятий. Для того чтобы лучше вникнуть в суть, лучше привести несколько примеров. Этому закону подчинены и физика, и химия, и экономика, и высшая математика. Теория вероятности включает такое важное понятие, как достоверное событие. Приведем примеры:

• Мы работаем и получаем вознаграждение в виде заработной платы.
• Сдали хорошо экзамены, прошли конкурс, за это получаем вознаграждение в виде поступления в учебное заведение.
• Мы вложили деньги в банк, при необходимости получим их назад.

Такие события являются достоверными. Если мы выполнили все необходимые условия, то обязательно получим ожидаемый результат.

Невозможные события

Сейчас мы рассматриваем элементы теории вероятности. Предлагаем перейти к пояснению следующего вида события, а именно - невозможного. Для начала оговорим самое важное правило - вероятность невозможного события равна нулю.

От данной формулировки нельзя отступать при решении задач. Для пояснения приведем примеры таких событий:

• Вода замерзла при температуре плюс десять (это невозможно).
• Отсутствие электроэнергии никак не влияет на производство (так же невозможно, как и в предыдущем примере).

Более примеров приводить не стоит, так как описанные выше очень ярко отражают суть данной категории. Невозможное событие никогда не произойдет во время опыта ни при каких обстоятельствах.

Случайные события

Изучая элементы особое внимание стоит уделить именно данному виду события. Именно их и изучает данная наука. В результате опыта может что-то произойти или нет. Кроме этого, испытание может проводиться неограниченное количество раз. Яркими примерами могут служить:

• Бросок монеты - это опыт, или испытание, выпадение орла - это событие.
• Вытягивание мячика из мешка вслепую - испытание, попался красный шар - это событие и так далее.

Таких примеров может быть неограниченное количество, но, в общем, суть должна быть понятна. Для обобщения и систематизирования полученных знаний о событиях приведена таблица. Теория вероятности изучает только последний вид из всех представленных.

Законы

Теория вероятности - это наука, изучающая возможность выпадения какого-либо события. Как и другие, она имеет некоторые правила. Существуют следующие законы теории вероятности:

• Сходимость последовательностей случайных величин.
• Закон больших чисел.

При расчете возможности сложного можно использовать комплекс простых событий для достижения результата более легким и быстрым путем. Отметим, что законы теории вероятности легко доказываются с помощью некоторых теорем. Предлагаем для начала познакомиться с первым законом.

Сходимость последовательностей случайных величин

Отметим, что видов сходимости несколько:

• Последовательность случайных величин сходима по вероятности.
• Почти невозможное.
• Среднеквадратическая сходимость.
• Сходимость по распределению.

Так, с лету, очень тяжело вникнуть в суть. Приведем определения, которые помогут разобраться в данной теме. Для начала первый вид. Последовательность называют сходимой по вероятности , если соблюдено следующее условие: n стремится к бесконечности, число, к которому стремится последовательность, больше нуля и приближена к единице.

Переходим к следующему виду, почти наверное . Говорят, что последовательность сходится почти наверное к случайной величине при n, стремящейся к бесконечности, и Р, стремящейся к величине, приближенной к единице.

Следующий тип - это сходимость среднеквадратическая . При использовании СК-сходимости изучение векторных случайных процессов сводится к изучению их координатных случайных процессов.

Остался последний тип, давайте разберем кратко и его, чтобы переходить непосредственно к решению задач. Сходимость по распределению имеет и еще одно название - «слабое», далее поясним, почему. Слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Обязательно выполним обещание: слабая сходимость отличается от всех вышеперечисленных тем, что случайная величина не определена на вероятностном пространстве. Это возможно потому, что условие формируется исключительно с использованием функций распределения.

Закон больших чисел

Отличными помощниками при доказательстве данного закона станут теоремы теории вероятности, такие как:

• Неравенство Чебышева.
• Теорема Чебышева.
• Обобщенная теорема Чебышева.
• Теорема Маркова.

Если будем рассматривать все эти теоремы, то данный вопрос может затянуться на несколько десятков листов. У нас же основная задача - это применение теории вероятности на практике. Предлагаем вам прямо сейчас этим и заняться. Но перед этим рассмотрим аксиомы теории вероятностей, они будут основными помощниками при решении задач.

Аксиомы

С первой мы уже познакомились, когда говорили о невозможном событии. Давайте вспоминать: вероятность невозможного события равна нулю. Пример мы приводили очень яркий и запоминающийся: выпал снег при температуре воздуха тридцать градусов по Цельсию.

Вторая звучит следующим образом: достоверное событие происходит с вероятностью, равной единице. Теперь покажем, как это записать с помощью математического языка: Р(В)=1.

Третья: Случайное событие может произойти или нет, но возможность всегда варьируется в пределах от нуля до единицы. Чем ближе значение к единице, тем шансов больше; если значение приближается к нулю, вероятность очень мала. Запишем это математическим языком: 0<Р(С)<1.

Рассмотрим последнюю, четвертую аксиому, которая звучит так: вероятность суммы двух событий равняется сумме их вероятностей. Записываем математическим языком: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Аксиомы теории вероятностей - это простейшие правила, которые не составит труда запомнить. Попробуем решить некоторые задачи, опираясь на уже полученные знания.

Лотерейный билет

Для начала рассмотрим простейший пример - лотерея. Представьте, что вы купили один лотерейный билет на удачу. Какова вероятность, что вы выиграете не менее двадцати рублей? Всего в тираже участвует тысяча билетов, один из которых имеет приз в пятьсот рублей, десять по сто рублей, пятьдесят по двадцать рублей, а сто - по пять. Задачи по теории вероятности основаны на том, чтобы найти возможность удачи. Сейчас вместе разберем решение выше представленного задания.

Если мы буквой А обозначим выигрыш в пятьсот рублей, то вероятность выпадения А будет равняться 0,001. Как мы это получили? Просто необходимо количество "счастливых" билетов разделить на общее их число (в данном случае: 1/1000).

В - это выигрыш в сто рублей, вероятность будет равняться 0,01. Сейчас мы действовали по тому же принципу, что и в прошлом действии (10/1000)

С - выигрыш равен двадцати рублям. Находим вероятность, она равняется 0,05.

Остальные билеты нас не интересуют, так как их призовой фонд меньше заданного в условии. Применим четвертую аксиому: Вероятность выиграть не менее двадцати рублей составляет Р(А)+Р(В)+Р(С). Буквой Р обозначается вероятность происхождения данного события, мы в предыдущих действиях уже их нашли. Осталось только сложить необходимые данные, в ответе мы получаем 0,061. Это число и будет являться ответом на вопрос задания.

Карточная колода

Задачи по теории вероятности бывают и более сложными, для примера возьмем следующее задание. Перед вами колода из тридцати шести карт. Ваша задача - вытянуть две карты подряд, не перемешивая стопку, первая и вторая карты должны быть тузами, масть значения не имеет.

Для начала найдем вероятность того, что первая карта будет тузом, для этого четыре делим на тридцать шесть. Отложили его в сторону. Достаем вторую карту, это будет туз с вероятностью три тридцать пятых. Вероятность второго события зависит от того, какую карту мы вытянули первой, нам интересно, был это туз или нет. Из этого следует, что событие В зависит от события А.

Следующим действием находим вероятность одновременного осуществления, то есть перемножаем А и В. Их произведение находится следующим образом: вероятность одного события умножаем на условную вероятность другого, которую мы вычисляем, предполагая, что первое событие произошло, то есть первой картой мы вытянули туз.

Для того чтобы стало все понятно, дадим обозначение такому элементу, как события. Вычисляется она, предполагая, что событие А произошло. Рассчитывается следующим образом: Р(В/А).

Продолжим решение нашей задачи: Р(А * В)=Р(А) * Р(В/А) или Р(А * В)=Р(В) * Р(А/В). Вероятность равняется (4/36) * ((3/35)/(4/36). Вычисляем, округляя до сотых. Мы имеем: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0,82=0,09. Вероятность того, что мы вытянем два туза подряд, равна девяти сотым. Значение очень мало, из этого следует, что и вероятность происхождения события крайне мала.

Забытый номер

Предлагаем разобрать еще несколько вариантов заданий, которые изучает теория вероятности. Примеры решения некоторых из них вы уже видели в данной статье, попробуем решить следующую задачу: мальчик забыл последнюю цифру номера телефона своего друга, но так как звонок был очень важен, то начал набирать все по очереди. Нам необходимо вычислить вероятность того, что он позвонит не более трех раз. Решение задачи простейшее, если известны правила, законы и аксиомы теории вероятности.

Перед тем как смотреть решение, попробуйте решить самостоятельно. Нам известно, что последняя цифра может быть от нуля до девяти, то есть всего десять значений. Вероятность набрать нужную составляет 1/10.

Далее нам нужно рассматривать варианты происхождения события, предположим, что мальчик угадал и сразу набрал нужную, вероятность такого события равняется 1/10. Второй вариант: первый звонок промах, а второй в цель. Рассчитаем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 1/9, в итоге получаем также 1/10. Третий вариант: первый и второй звонок оказались не по адресу, только с третьего мальчик попал туда, куда хотел. Вычисляем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 8/9 и на 1/8, получаем в итоге 1/10. Другие варианты по условию задачи нас не интересуют, по этому нам осталось сложить полученные результаты, в итоге мы имеем 3/10. Ответ: вероятность того, что мальчик позвонит не более трех раз, равняется 0,3.

Карточки с числами

Перед вами девять карточек, на каждой из которых написано число от одного до девяти, цифры не повторяются. Их положили в коробку и тщательно перемешали. Вам необходимо рассчитать вероятность того, что

• выпадет четное число;
• двухзначное.

Перед тем как переходить к решению, оговорим, что m - это число удачных случаев, а n - это общее количество вариантов. Найдем вероятность того, что число будет четным. Не составит труда посчитать, что четных чисел четыре, это и будет наша m, всего возможно девять вариантов, то есть m=9. Тогда вероятность равняется 0,44 или 4/9.

Рассматриваем второй случай: количество вариантов девять, а удачных исходов быть вообще не может, то есть m равняется нулю. Вероятность того, что вытянутая карточка будет содержать двухзначное число, так же равняется нулю.

Что такое вероятность?

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1ю дверь
2. Ты позвонил в 2ю дверь
3. Ты позвонил в 3ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.

Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .

Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.

А почему не?

Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.

Хрестоматийный пример - бросание монетки.

1. Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
2. Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .

Отличить зависимые события от независимых легко:

1. Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
2. Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

1. Орел-орел
2. Орел-решка
3. Решка-орел
4. Решка-решка

Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.

Ответ:

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? .

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

Потому что в коробке только конфет с орехами.

Ответ:

Пример 3.

В коробке шаров. из них белые, - черные.

1. Какова вероятность вытащить белый шар?
2. Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего шаров. Из них белых.

Вероятность равна:

б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .

Ответ:

Полная вероятность

Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар

Зеленый шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .

Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .

Ответ:

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали - .

А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?

Всего возможных вариантов:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.

Какова вероятность выпадения раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка - , орла - .

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов, нам подходит.

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).

Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:

Ответ:

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение.

Как мы можем получить очков?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятность выпадения одной (любой) грани - .

Считаем вероятность:

Ответ:

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.

1. Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
2. Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
3. Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
4. Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
5. Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

1. В колоде карты каждого достоинства, значит:
2. События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:

   Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:

   Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:

   Ответ:

3. После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
   1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
   2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).

Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.

А в процентах: .

Примеры (реши сам):

1. С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
2. С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
3. В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

1. Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность

   С решкой то же самое: .

2. Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
   Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.
3. Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).

Такое событие называется невозможным .

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.

Такое событие называется достоверным .

Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .

В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.

Пример:

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.

Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
2. Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
3. Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?

Ответы:

1. События независимы, значит, работает правило умножения: .
2. Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
3. 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение .

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .

Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.

Эту же вероятность можно представить в таком виде: .

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение .

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:

Попробуй сам:

1. С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?

Решения:

1. (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
2. Какие есть варианты? и. Тогда:
   Выпало (и) или (и) или (и): .

Еще пример:

Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Математика для программистов: теория вероятностей

Иван Камышан

Некоторые программисты после работы в области разработки обычных коммерческих приложений задумываются о том, чтобы освоить машинное обучение и стать аналитиком данных. Часто они не понимают, почему те или иные методы работают, и большинство методов машинного обучения кажутся магией. На самом деле, машинное обучение базируется на математической статистике, а та, в свою очередь, основана на теории вероятностей. Поэтому в этой статье мы уделим внимание базовым понятиям теории вероятностей: затронем определения вероятности, распределения и разберем несколько простых примеров.

Возможно, вам известно, что теория вероятностей условно делится на 2 части. Дискретная теория вероятностей изучает явления, которые можно описать распределением с конечным (или счетным) количеством возможных вариантов поведения (бросания игральных костей, монеток). Непрерывная теория вероятностей изучает явления, распределенные на каком-то плотном множестве, например на отрезке или в круге.

Можно рассмотреть предмет теории вероятностей на простом примере. Представьте себя разработчиком шутера. Неотъемлемой частью разработки игр этого жанра является механика стрельбы. Ясно, что шутер в котором всё оружие стреляет абсолютно точно, будет малоинтересен игрокам. Поэтому, обязательно нужно добавлять оружию разброс. Но простая рандомизация точек попадания оружия не позволит сделать его тонкую настройку, поэтому, корректировка игрового баланса будет сложна. В то же время, используя случайные величины и их распределения можно проанализировать то, как будет работать оружие с заданным разбросом, и поможет внести необходимые корректировки.

Пространство элементарных исходов

Допустим, из некоторого случайного эксперимента, который мы можем многократно повторять (например, бросание монеты), мы можем извлечь некоторую формализуемую информацию (выпал орел или решка). Эта информация называется элементарным исходом, при этом целесообразно рассматривать множество всех элементарных исходов, часто обозначаемое буквой Ω (Омега).

Структура этого пространства целиком зависит от природы эксперимента. Например, если рассматривать стрельбу по достаточно большой круговой мишени, - пространством элементарных исходов будет круг, для удобства размещенный с центром в нуле, а исходом - точка в этом круге.

Кроме того, рассматривают множества элементарных исходов - события (например, попадание в «десятку» - это концентрический круг маленького радиуса с мишенью). В дискретном случае всё достаточно просто: мы можем получить любое событие, включая или исключая элементарные исходы за конечное время. В непрерывном же случае всё гораздо сложнее: нам понадобится некоторое достаточно хорошее семейство множеств для рассмотрения, называемое алгеброй по аналогии с простыми вещественными числами, которые можно складывать, вычитать, делить и умножать. Множества в алгебре можно пересекать и объединять, при этом результат операции будет находиться в алгебре. Это очень важное свойство для математики, которая лежит за всеми этими понятиями. Минимальное семейство состоит всего из двух множеств - из пустого множества и пространства элементарных исходов.

Мера и вероятность

Вероятность - это способ делать выводы о поведении очень сложных объектов, не вникая в принцип их работы. Таким образом, вероятность определяется как функция от события (из того самого хорошего семейства множеств), которая возвращает число - некоторую характеристику того, насколько часто может происходить такое событие в реальности. Для определённости математики условились, что это число должно лежать между нулем и единицей. Кроме того, к этой функции предъявляются требования: вероятность невозможного события нулевая, вероятность всего множества исходов единичная, и вероятность объединения двух независимых событий (непересекающихся множеств) равна сумме вероятностей. Другое название вероятности - вероятностная мера. Чаще всего используется Лебегова мера , обобщающая понятия длина, площадь, объём на любые размерности (n -мерный объем), и таким образом она применима для широкого класса множеств.

Вместе совокупность множества элементарных исходов, семейства множеств и вероятностной меры называется вероятностным пространством . Рассмотрим, каким образом можно построить вероятностное пространство для примера со стрельбой в мишень.

Рассмотрим стрельбу в большую круглую мишень радиуса R , в которую невозможно промахнуться. Множеством элементарных событий положим круг с центром в начале координат радиуса R . Поскольку мы собираемся использовать площадь (меру Лебега для двумерных множеств) для описания вероятности события, то будем использовать семейство измеримых (для которых эта мера существует) множеств.

Примечание На самом деле, это технический момент и в простых задачах процесс определения меры и семейства множеств не играет особой роли. Но понимать, что эти два объекта существуют, необходимо, ведь во многих книгах по теории вероятности теоремы начинаются со слов: «Пусть (Ω,Σ,P) - вероятностное пространство … ».

Как уже сказано выше, вероятность всего пространства элементарных исходов должна равняться единице. Площадь (двумерная мера Лебега, которую мы обозначим λ 2 (A) , где А – событие) круга по хорошо известной со школы формуле равна π *R 2 . Тогда мы можем ввести вероятность P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , и эта величина уже будет лежать между 0 и 1 для любого события А.

Если предположить, что попадание в любую точку мишени равновероятно, поиск вероятности попадания стрелком в какую-то то область мишени сводится к поиску площади этого множества (отсюда можно сделать вывод, что вероятность попадания в конкретную точку нулевая, ведь площадь точки равна нулю).

Например, мы хотим узнать, какова вероятность того, что стрелок попадёт в «десятку» (событие A – стрелок попал в нужное множество). В нашей модели, «десятка» представляется кругом с центром в нуле и радиусом r. Тогда вероятность попадания в этот круг P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Это одна из самых простых разновидностей задач на «геометрическую вероятность», - большинство таких задач требуют поиска площади.

Случайные величины

Случайная величина – функция, переводящая элементарные исходы в вещественные числа. К примеру, в рассмотренной задаче мы можем ввести случайную величину ρ(ω) – расстояние от точки попадания до центра мишени. Простота нашей модели позволяет явно задать пространство элементарных исходов: Ω = {ω = (x,y) такие числа, что x 2 +y 2 ≤ R 2 } . Тогда случайная величина ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Средства абстракции от вероятностного пространства. Функция распределения и плотность

Хорошо, когда структура пространства хорошо известна, но на самом деле так бывает далеко не всегда. Даже если структура пространства известна, она может быть сложна. Для описания случайных величин, если их выражение неизвестно, существует понятие функции распределения, которую обозначают F ξ (x) = P(ξ < x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Функция распределения обладает несколькими свойствами:

1. Во-первых, она находится между 0 и 1 .
2. Во-вторых, она не убывает, когда ее аргумент x растёт.
3. В третьих, когда число -x очень велико, функция распределения близка к 0 , а когда само х большое, функция распределения близка к 1 .

Вероятно, смысл этой конструкции при первом чтении не слишком понятен. Одно из полезных свойств – функция распределения позволяет искать вероятность того, что величина принимает значение из интервала. Итак, P (случайная величина ξ принимает значения из интервала ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Исходя из этого равенства, можем исследовать, как изменяется эта величина, если границы a и b интервала близки.

Пусть d = b-a , тогда b = a+d . А следовательно, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . При малых значениях d , указанная выше разность так же мала (если распределение непрерывное). Имеет смысл рассматривать отношение p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Если при достаточно малых значениях d это отношение мало отличается от некоторой константы p ξ (a) , не зависящей от d, то в этой точке случайная величина имеет плотность, равную p ξ (a) .

Примечание Читатели, которые ранее сталкивались понятием производной, могут заметить что p ξ (a) – производная функции F ξ (x) в точке a . Во всяком случае, можно изучить понятие производной в посвященной этой теме статье на сайте Mathprofi.

Теперь смысл функции распределения можно определить так: её производная (плотность p ξ , которую мы определили выше) в точке а описывает, насколько часто случайная величина будет попадать в небольшой интервал с центром в точке а (окрестность точки а) по сравнению с окрестностями других точек. Другими словами, чем быстрее растёт функция распределения, тем более вероятно появление такого значения при случайном эксперименте.

Вернемся к примеру. Мы можем вычислить функцию распределения для случайной величины, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , которая обозначает расстояние от центра до точки случайного попадания в мишень. По определению F ρ (t) = P(ρ(x,y) < t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Мы можем найти плотность p ρ этой случайной величины. Сразу заметим, что вне интервала она нулевая, т.к. функция распределения на этом промежутке неизменна. На концах этого интервала плотность не определена. Внутри интервала её можно найти, используя таблицу производных (например из на сайте Mathprofi) и элементарные правила дифференцирования. Производная от t 2 /R 2 равна 2t/R 2 . Значит, плотность мы нашли на всей оси вещественных чисел.

Ещё одно полезное свойство плотности – вероятность того, что функция принимает значение из промежутка, вычисляется при помощи интеграла от плотности по этому промежутку (ознакомиться с тем, что это такое, можно в статьях о собственном , несобственном , неопределенном интегралах на сайте Mathprofi).

При первом чтении, интеграл по промежутку от функции f(x) можно представлять себе как площадь криволинейной трапеции. Ее сторонами являются фрагмент оси Ох, промежуток (горизонтальной оси координат), вертикальные отрезки, соединяющие точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривой с точками (a,0), (b,0) на оси Ох. Последней стороной является фрагмент графика функции f от (a,f(a)) до (b,f(b)) . Можно говорить об интеграле по промежутку (-∞; b] , когда для достаточно больших отрицательных значений, a значение интеграла по промежутку будет меняться пренебрежимо мало по сравнению с изменением числа a. Аналогичным образом определяется и интеграл по промежуткам }