Объяснение теоремы гаусса. §5 Теорема Гаусса. Применения теоремы Гаусса
Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.
В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q , находящийся в ее центре (рис. 124),
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих
в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.
Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e 0 , т. е.
Знак потока совпадает со знаком заряда Q. Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напря-женностей Е i , создаваемых каждым зарядом в отдельности: ; . Поэтому
Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q i /e 0 . Следовательно,
Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e 0 . Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801 -1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К. Гауссом.
В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой
объемной плотностью r=dQ/dV, различной
в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,
Используя формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно записать так.
Эта теорема представляет собой только следствие закона Кулона и принципа суперпозиции электрических полей. Вот её формулировка:
Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную 0 .
Доказательство теоремы начнём с простейшего случая: вычислим поток вектора напряжённости поля точечного заряда Q .
Напряжённость этого поля хорошо известна (см. 1.3)
Учитывая сферическую симметрию поля, выберем вначале в качестве гауссовой замкнутой поверхности сферу радиусом r , с центром в той точке, где находится зарядQ (рис. 2.5., 1). Поток вектора напряжённости через эту поверхность вычислить легко
Здесь мы учли, что:
Рис. 2.5.
Учитывая последнее замечание, запишем поток (2.7) в следующем виде:
(2.8)
Таким образом, для первого простейшего случая теорема Гаусса оказалась справедливой. Что из этого следует?
Полученный результат позволяет заключить, что найденный поток не зависит от радиуса гауссовой поверхности. Это легко понять: ведь с увеличением расстояния от заряда Q площадь поверхностирастёт пропорционально квадрату радиуса, а напряжённость поляубывает обратно пропорционально квадрату радиуса.
Вспомним, кроме того, что поток вектора напряжённости равен числу силовых линий, пронизывающих гауссову поверхность. Независимость потока от радиуса поверхности означает, что силовые линии поля точечного заряда, начинаясь на положительном заряде, простираются далее до бесконечности, не прерываясь. Отсюда - дальнейшие выводы.
Поток вектора напряжённости поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность (рис. 2.5, 2),охватывающую точечный заряд Q , равен отношению
Этот вывод несомненен, так как поток равен прежнему неизменному числу силовых линий, пронизывающий замкнутую поверхность.
Поток вектора напряжённости, через произвольную замкнутую поверхность, не охватывающую электрический заряд, равен нулю (рис. 2.5, 3).
Этот вывод также легко понять, так как число силовых линий втекающих в гауссову поверхность, равно числу линий, покидающих её. Поэтому суммарный поток через эту поверхность равен нулю.
Теперь можно обратиться к рассмотрению общего случая: пусть произвольная замкнутая поверхность S охватываетN точечных зарядов (рис. 2.6.). Вычислим поток вектора напряжённости суммарного поля через эту поверхностьS, учтя, что в соответствии с принципом суперпозиции результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей
Рис. 2.6.
Итак, воспользовавшись определением потока, вычислим его через произвольную замкнутую поверхность S .
(2.9)
Полученный результат является доказательством справедливости теоремы Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности .
Вычисление напряженности поля большой системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно существенно упростить, используя теорему Гаусса. Эта теорема определяет поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.
Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора напряженности через эту поверхность определяется выражением
где проекция вектора на нормаль к площадке dS (рис. 1.10); вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с направлением нормали к площадке ().
Рассмотрим сферическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд q , находящийся в ее центре (рис. 1.11). В соответствии с формулой (1.23) поток вектора напряженности сквозь эту поверхность будет равен:
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы: если окружить рассматриваемую сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Рассмотрим теперь общий случай произвольной замкнутой поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна векторной сумме напряженностей полей, обусловленных каждым зарядом в отдельности; поэтому поток вектора напряженности результирующего поля будет равен:
Согласно (1.24) каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен . Следовательно,
т.е. поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную.
Применим теорему Гаусса для определения напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. В этом случае ее поверхностная плотность заряда
одинакова в любом месте плоскости. Это означает, что линии напряженности перпендикулярны плоскости в любой точке, т.е. поле заряженной плоскости однородно (рис. 1.12).
Мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и одно из оснований проходит через интересующую нас точку. Согласно теореме Гаусса,
С другой стороны, так как линии напряженности пересекают только основания цилиндра, поток вектора можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра, т.е.
Приведем (без вывода) выражения для расчета напряженности электростатического поля, образованного некоторыми другими заряженными телами:
1. Напряженность поля, создаваемого разноименно заряженными параллельными бесконечно протяженными плоскостями (поле плоского конденсатора)
где заряд шара радиуса ; расстояние от центра шара до точки поля ().
где линейная плотность заряда на нити (заряд, приходящийся на единицу длины); расстояние от нити до точки поля.
Определим поток напряженности электростатического поля зарядов q 1 ,q 2 ,...q n в вакууме (e=1) через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эти заряды.
Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом R, окружающей один заряд +q, находящийся в ее центре (рис.1.7).
, где - есть интеграл по замкнутой поверхности сферы. Во всех точках сферы модуль вектора одинаков, а сам он направлен перпендикулярно поверхности. Следовательно . Площадь поверхности сферы равна . Отсюда следует, что
.
Полученный результат будет справедлив и для поверхности S¢ произвольной формы, так как ее пронизывает такое же количество силовых линий.
На рисунке 1.8 представлена произвольная замкнутая поверхность, охватывающая заряд q>0. Некоторые линии напряженности то выходят из поверхности, то входят в нее. Для всех линий напряженности число пересечений с поверхностью является нечетным.
Как отмечалось в предыдущем параграфе, линии напряженности, выходящие из объема, ограниченного замкнутой поверхностью, создают положительный поток Ф е; линии же, входящие в объем, создают отрицательный поток -Ф е. Потоки линий при входе и выходе компенсируются. Таким образом, при расчете суммарного потока через всю поверхность следует учитывать лишь одно (не скомпенсированное) пересечение замкнутой поверхности каждой линией напряженности.
Если заряд q не охватывается замкнутой поверхностью S, то количество силовых линий, входящих в данную поверхность и выходящих из нее, одинаково (рис.1.9). Суммарный поток вектора через такую поверхность равен нулю: Ф Е =0.
Рассмотрим самый общий случай поверхности произвольной формы, охватывающей n зарядов. По принципу суперпозиции электростатических полей напряженность , создаваемая зарядами q 1 ,q 2 ,...q n равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Проекция вектора - результирующей напряженности поля на направление нормали к площадке dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов на это направление: ,
Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную e 0 . Эта формулировка представляет собой теорему К.Гаусса.
В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде .
Теорема Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно определить напряженности полей, создаваемых заряженными телами различной формы.
Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.
В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса г, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 124), равен
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит внес, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.
Рис. 124 Рис. 125
Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/ε 0 , т. е.
(81.1)
Знак потока совпадает со знаком заряда Q.
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равнасумме напряженностей E полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому
Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Qi/ε0. Следовательно,
(81.2)
Формула (81.2) выражаеттеорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε 0 . Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К. Гауссом.