1 вариант

1. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется:

1. Четырехугольник 2. Многоугольник 3. Многогранник 4. Шестиугольник

2. К многогранникам относятся:

1. Параллелепипед 2. Призма 3. Пирамида 4. Все ответы верны

3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:

1. Диагональю 2. Ребром 3. Гранью 4. Осью

4. У призмы боковые ребра:

1. Равны 2. Симметричны 3. Параллельны и равны 4. Параллельны

5. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:

1. Противолежащими 2. Противоположными 3. Симметричными 4. Равными

6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:

1. Медианой 2. Осью 3. Диагональю 4. Высотой

7. Точки, не лежащие в плоскости основания пирамиды, называются:

1. Вершинами пирамиды 2. Боковыми ребрами 3. Линейным размером

4. Вершинами грани

8. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:

1. Медианой 2. Апофемой 3. Перпендикуляром 4. Биссектрисой

9. У куба все грани:

1. Прямоугольники 2. Квадраты 3. Трапеции 4. Ромбы

10. Тело, состоящее из двух кругов и всех отрезков, соединяющих точки кругов называется:

1. Конусом 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Сферой

11. У цилиндра образующие:

1. Равны 2. Параллельны 3. Симметричны 4. Параллельны и равны

12. Основания цилиндра лежат в:

1. Одной плоскости 2. Равных плоскостях 3. Параллельных плоскостях 4. Разных плоскостях

13. Поверхность конуса состоит из:

1. Образующих 2. Граней и ребер 3. Основания и ребра 4. Основания и боковой поверхности

14. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется:

1. Радиусом 2. Центром 3. Осью 4. Диаметром

15. Всякое сечение шара плоскостью есть:

1. Окружность 2. Круг 3. Сфера 4. Полукруг

16. Сечение шара диаметральной плоскостью называется:

1. Большим кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Окружностью

17. Круг конуса называется:

1. Вершиной 2. Плоскостью 3. Гранью 4. Основанием

18. Основания призмы:

1. Параллельны 2. Равны 3. Перпендикулярны 4. Не равны

19. Площадью боковой поверхности призмы называется:

1. Сумма площадей боковых многоугольников

2. Сумма площадей боковых ребер

3. Сумма площадей боковых граней

4. Сумма площадей оснований

20. Пересечения диагоналей параллелепипеда является его:

1. Центром 2. Центром симметрии 3. Линейным размером 4. Точкой сечения

21. Радиус основания цилиндра 1,5 см, высота 4см. Найти диагональ осевого сечения.

1. 4,2 см. 2. 10 см. 3. 5 см.

0 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?

1. 7 см. 2. 14 см. 3. 3,5 см.

23. Высота цилиндра равна 8 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.

1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .

24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 15 см и 12 см, высота 4 см. Чему равна образующая конуса?

1. 5 см 2. 4 см 3. 10 см

МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

2 вариант

1. Вершины многогранника обозначаются:

1. а, в, с, d ... 2. А, В, С, D ... 3. ab , cd , ac , ad ... 4. АВ, СВ, А D , СD ...

2. Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных параллельным переносом, называется:

1. Пирамидой 2. Призмой 3. Цилиндром 4. Параллелепипедом

3. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является:

1. Наклонной 2. Правильной 3. Прямой 4. Выпуклой

4. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:

1. Правильной призмой 2. Параллелепипедом 3. Правильным многоугольником

4. Пирамидой

5. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется:

1. Конусом 2. Пирамидой 3. Призмой 4. Шаром

6. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:

1. Гранями 2. Сторонами 3. Боковыми ребрами 4. Диагоналями

7. Треугольная пирамида называется:

1. Правильной пирамидой 2. Тетраэдром 3. Треугольной пирамидой 4. Наклонной пирамидой

8. К правильным многогранникам не относится:

1. Куб 2. Тетраэдр 3. Икосаэдр 4. Пирамида

9. Высота пирамиды является:

1. Осью 2. Медианой 3. Перпендикуляром 4. Апофемой

10. Отрезки, соединяющие точки окружностей кругов, называются:

1. Гранями цилиндра 2. Образующими цилиндра 3. Высотами цилиндра

4. Перпендикулярами цилиндра

1. Осью цилиндра 2. Высотой цилиндра 3. Радиусом цилиндра

4. Ребром цилиндра

12. Тело, которое состоит из точки, круга и отрезков соединяющих их, называется:

1. Пирамидой 2. Конусом 3. Шаром 4. Цилиндром

13. Тело, которое состоит из всех точек пространства, называется:

1. Сферой 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Полусферой

14. Граница шара называется:

1. Сферой 2. Шаром 3. Сечением 4. Окружностью

15. Линия пересечения двух сфер есть:

1. Круг 2. Полукруг 3. Окружность 4. Сечение

16. Сечение сферы называется:

1. Кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Малой окружностью

17. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:

1. Треугольниками 2. Углами 3. Многоугольниками 4. Шестиугольниками

18. Боковая поверхность призмы состоит из…

1. Параллелограммов 2. Квадратов 3. Ромбов 4. Треугольников

19. Боковая поверхность прямой призмы равна:

1. Произведению периметра на длину грани призмы

2. Произведению длины грани призмы на основание

3. Произведению длины грани призмы на высоту

4. Произведению периметра основания на высоту призмы

20. К правильным многогранникам относятся:

21. Радиус основания цилиндра 2,5 см, высота 12см. Найти диагональ осевого сечения.

1. 15 см; 2. 14 см; 3. 13 см.

22. Наибольший угол между образующими конуса 60 0 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 5 см?

1. 5 см; 2. 10 см; 3. 2,5 см.

23. Высота цилиндра равна 4 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.

1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .

24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 12 см, высота 8 см. Чему равна образующая конуса?

1. 10 см; 2. 4 см; 3. 6 см.

Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскостями. Элементы многогранника: грани, рёбра, вершины. Совокупность всех рёбер многогранника называется его сеткой. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; при этом его грани являются выпуклыми многоугольниками. Для выпуклых многогранников Леонардом Эйлером предложена формула:

Г+В-Р=2, где Г-число граней; В – число вершин; Р – число рёбер.

Среди множества выпуклых многогранников наибольший интерес представляют правильные многогранники (тела Платона), пирамиды и призмы. Многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками. К ним относятся (рис. 26): а - тетраэдр; б - гексаэдр (куб); в - октаэдр; г - додекаэдр; д - икосаэдр.

а) б) в) г) д)

Рис. 26

Параметры правильных многогранников (рис. 26)

Из таблицы видно, что число граней и вершин у куба и октаэдра соответственно составляет 6, 8 и 8, 6. Это позволяет вписывать (описывать) их в друг друга до бесконечности (рис. 27).

Большую группу составляют, так называемые, полуправильные многогранники (тела Архимеда). Это выпуклые многогранники, у которых грани являются правильными многоугольниками разных типов. Тела Архимеда это усечённые тела Платона. Внешний вид некоторых из них представлены на рис. 28, а ниже их параметры в таблице.

а) б) в) г)

Рис. 27 Рис. 28

Параметры полуправильных многогранников (рис. 28)

Многогранник может занимать общее положение в пространстве, или же его элементы могут быть параллельными и (или) перпендикулярными к плоскостям проекций. Исходными данными для построения многогранника в первом случае служат координаты вершин, во втором ─ его размеры. Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его сетки. Наружный очерк проекции многогранника называют контуром тела.

Призма

─ выпуклый многогранник, боковые рёбра которого параллельны между собой. Нижняя и верхняя грани ─ равные многоугольники, определяющие количество боковых рёбер, называются основаниями призмы. Призма называется правильной, если в основании правильный многоугольник, и прямой, если боковые рёбра перпендикулярны к основанию. В противном случае призма наклонная. Боковые грани прямой призмы прямоугольники, а наклонной ─ параллелограммы. Боковая поверхность прямой призмы относится к проецирующим объектам и вырождается в многоугольник на перпендикулярную боковым рёбрам плоскость проекций. Проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной проекцией.

Типовая задача 3 (рис. 29): Построить комплексный чертёж прямой призмы с размерами: l- сторона основания (длина призмы); b- высота равнобедренного треугольника основания (ширина призмы); h- высота призмы. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. На гранях ABB’A’ и ACC’A’ задать фронтальные проекции соответственно точки M и прямой n и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P 1 ;а ребро АС║P 3 (рис. 29, а).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P 1 и совпадающую с основанием (D ABC); D║P 2 и совпадающую с задней гранью АСС’А’. Строим базовые линии S 2 , S 3 , D 1 , D 3 (рис. 29, б).

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец, профильную проекции призмы, используя базовые линии D 1 , D 3 (рис. 29, в).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC, SB ─ горизонтально-проецирующие. Грани: ABC A"B’C’ ─ горизонтальные уровня; ABВ’А’, BCС’В’ ─ горизонтально-проецирующие; ACC"А’ ─фронтальная уровня..

5. Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на боковых гранях призмы, выполняем с использованием собирательного свойства проецирующего объекта: все проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной (горизонтальной) проекцией. Профильные проекции точек (например М) строим откладывая по горизонтальным линиям связи их глубины (Y M) от D 3 , которые измеряются на горизонтальной проекции от D 1 (см. также с. 8, 17). На прямой n задаём точки 1, 2 и строим эти точки на поверхности призмы, аналогично точке М. Определяем видимость методом конкурирующих точек. Выполнение задания "Призма с вырезом" см. в .

а) б) в)

Рис. 29

Пирамида

многогранник, одной из граней которого является многоугольник (основание пирамиды), определяющий число боковых граней, а остальные грани (боковые) ─ треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник и прямая, если вершина проецируется в центр основания. Боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Если вершина пирамиды проецируется вне её основания, - то пирамида наклонная.

Типовая задача 4 (рис. 30-32): Построить комплексный чертёж прямой правильной пирамиды с размерами: l- сторона основания (длина); b- высота треугольника основания (ширина); h- высота пирамиды. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. Задать фронтальную и горизонтальные проекции точек M и N принадлежащих соответственно граням ASB и ASC и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P 1 ;а ребро АС║P 3 (рис. 31).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P 1 и совпадающую с основанием (D ABC);

D║P 2 и совпадающую с ребром АС. Строим базовые линии S 2 , S 3 , D 1 , D 3 (рис. 32) .

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец,

профильную проекции пирамиды (см. рис. 32).

4. Анализируем положение рёбер и граней на комплексном чертеже пирамиды, учитывая исходные данные и классификаторы положения прямых и плоскостей (с. 11,14).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC ─ общего положения; SB ─ профильная уровня. Грани: ASB, BSC ─ общего положения; ABC ─горизонтальная уровня; ASC ─ профильно-проецирующая.

5. Построение недостающих проекций точек, лежащих на гранях пирамиды, выполняем с использованием признака «принадлежности точек плоскости». В качестве вспомогательных прямых используем горизонтали или произвольные прямые. Профильные проекции точек строим откладывая по горизонтальным линиям связи глубины точек (в направлении оси Y), которые измеряются на горизонтальной проекции (см с. 8, 17).

Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32

МОДЕЛЬ ОФОРМЛЕНИЯ СЦЕНАРИЯ ТВОРЧЕСКОГО УРОКА

Общие требования:

Полное название образовательного учреждения: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 90», Томская область, город Северск

Предмет: геометрия

Тема: Многогранники и тела вращения.

Класс: 11

Время реализации занятия: 2 урока (90 мин.)

Цель урока: повторение изучаемого материала.

Задачи урока:

Образовательные: контроль за уровнем усвоения материала.

Развивающие: формирование навыков продуктивного делового взаимодействия и принятия групповых решений.

Воспитательные: воспитание ответственности, коллективизма, уважительное отношение к мнению партнёра.

Тип урока: обобщающий урок

Форма урока:

• Урок – аукцион ;

Оборудование: переносная доска, карточки с вопросами, игровые денежки.

План проведения урока:

Ход урока:

Урок – аукцион является одной из форм проверки знаний, умений учащихся по данной большой теме.

Правила игры.

Класс делится на три команды, выбирается жюри. Все команды перед началом аукциона получают в «банке» (роль банкира играет один из членов жюри или учитель) первоначальный капитал в виде краткосрочного кредита под 30% годовых в размере 1000 денежек (или других денежных знаков) Приложение №1.

Это означает, что в конце игры все взявшие кредит должны вернуть в банк 1300д. (1000д. – сам кредит и 300д. составляют 30% от суммы кредита);

Расписываясь в банковской книге «Выдачи кредитом» за его получение, капитан команды одновременно с деньгами получает номер участника аукциона и лицевой счёт команды Приложение №2 . Только имёя номер, команда может претендовать на тот или иной лот (вопрос, правильный ответ на который приносит команде определенный доход, выставленный на аукционе).

Игра состоит из двух или более туров.

Перед проведением очередного тура аукционист (ведущий аукцион преподаватель) объявляет характер предлагаемых лотов и порядок проведения торгов.

Первый Тур « Конкретный вопрос».

Тур проходит по следующим правилам:

• задается конкретный вопрос по теме «Многогранники, тела вращения»;
• право на ответ может купить любая команда, имеющая номер, заплатив небольшую сумму в ходе открытых торгов;
• первоначальная стартовая цена каждого лота (права на ответ) 100д., а торговый (аукционный) шаг стоит 50д., т. е. торг ведется суммами, кратными 50д. Например, одна из команд называет свою цену за конкретный вопрос, предложенный аукционистом, - 150д. Если какая- то другая команда также хочет приобрести этот лот (право на ответ), то она называет цену – 200д. (250д. 300д. и т. д.), т. е. каждый раз цена увеличивается на 50д. (или сразу на 100д., или на 200д. и т. п.);
• называя свою цену, капитан команды должен поднять и показать аукционисту номер, который он получил перед началом аукциона;
• команда, купившая очередной лот, платит в банк сумму, за которую она купила этот выставленный лот;
• за правильный ответ на купленный вопрос команда получает денежное вознаграждение от 500 до 1500д., в зависимости от сложности вопроса;
• если участники команды неверно ответили на вопрос, они платят в банк штраф в размере 200д., и лот снимается с торгов и может быть выставлен в конце первого тура для повторной продажи.

Аукционист отвечает на вопросы участников, и открываются торги.

1.1 Чему равен угол между плоскостью основания прямого цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д. Кто дает большую цену?

1.2 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д.

[Равны, т.к. осевое сечение

конуса равнобедренный треугольник]

1.3 Космонавт сообщил на базу, что обнаружил странный космический объект. Это геометрически правильное твердое тело, которое выглядит одинаково, какой бы гранью ни повернулось. Так было до тех пор, пока космонавт до него не дотронулся. После чего три грани космического тела пульсируют красными огнями, три - голубями, остальные шесть - зелеными. Ученые на базе до сих по пытаются определить, что это за огни: Однако теперь они знают форму всех граней космического объекта. А вы знаете? Вознаграждение 1500д.

[Не важно, какого цвета огни, - красного, зеленого или голубого.

Объект представляет собой геометрическое тело с 12-ю гранями.

Значит, оно может быть только декаэдром (двенадцатигранником). Каждая его грань представляет собой правильный пятиугольник.]

Могут ли вершины прямоугольного треугольника с катетами 4см и см лежать на сфере радиуса см? Вознаграждение 1000д.

[Нет]

1.4 Круглое бревно весит 30кг. Сколько весит бревно, которое вдвое толще, но вдвое короче? Вознаграждение 1500д.

[От увеличения вдвое объем круглого бревна увеличивается

вчетверо; от укорочения же вдвое объем бревна уменьшается

всег о в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно

быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е; весит 60 кг.]

1.5 Какая из двух банок, изображенных на рис. 1, вместительнее - широкая, или втрое более высокая, но вдвое более узкая? Вознаграждение 1500 р.

[Высокая банка менее вместительна. Это легко проверить. Площадь основания широкой банки в 2 2, т. е. в четыре раза больше, чем узкой; высота же ее всего в три раза меньше. Значит, объем широкой банки в раза больше, чем узкой. Если содержимое высокой банки перелить в широкую, заполнится лишь ее объема.]

1.6 Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 2)? Вознаграждение 1000д.

[ 60° (рис. 3 , а); 120°, (рис. 3, б).]

1.7 Двое заспорили о содержимом бочки. Один спорщик говорил, что воды в бочке более, чем наполовину, а другой утверждал, что менее.

Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения? Вознаграждение 1500д.

[Если бы вода в бочке была налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришелся как раз у края бочки, мы увидели бы, что высшая точка два находится также на уровне воды. Это ясно из того, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит, ее на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклоне бочки должен выступать из воды больший или меньший сегмент два. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклоне верхняя часть дна окажется под водой.]

1.8 Как найти вместимость объем стакана с помощью весов? Вознаграждение 1000д.

[Пусть масса стакана с водой а без воды ,

тогда где - плотность; для воды .]

1.9 «Сюрприз». Команда, купившая этот лот, получает карточку, в которой написано: «Вы имеете право на приобретение по первоначальной стартовой цене одного из лотов второго тура аукциона или получить в банке премию в размере 500д.».

1.10 Вычислите приближенно объем мяча, если в вашем распоряжении нитка и измерительная линейка. Вознаграждение 1500д.

[Пусть D - диаметр мяча, l - длина наибольшей

Окружности на поверхности мяча, найденная

с помощью нитки и линейки, тогда

1.11 С помощью мензурки определите радиус вмещающегося в нее шара. Вознаграждение 1500д.

[С помощью мензурки находим V - объем шара, а его

радиус вычисляем по формуле .]

1.12 Для тренировки смекалки представьте себе такое вынужденное положение: необходимо, пользуясь только масштабной линейкой, определить объем бутылки (с круглым, квадратным или прямоугольным дном), которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Выливать или доливать жидкость не разрешается. Вознаграждение 1500д.

[Так как дно бутылки по условию имеет форму круга или квадрата, или прямоугольника, то его площадь легко можно определить при помощи одной только масштабной линейки. Обозначим площадь дна через S. Измерим высоту h 1 , жидкости в бутылке. Тогда объем той части бутылки, которую занимает жидкость, равен Sh 1 , (рис.б). Опрокидываем бутылку вверх дном и измеряем высоту h 2 , ее части от уровня жидкости до дна бутылки. Объем этой части бутылки равен Sh 2 . Остальную часть бутылки занимает жидкость, объем которой уже определен - он равен Sh 1 . Отсюда следует, что объем всей бутылки равен ]

Третий тур. Закрытый лот «Неизвестный вопрос».

В этом туре команды покупают закрытый лот, не зная, какой вопрос будет в этом лоте. В остальном правила проведения аукциона остаются прежними, лишь цена за правильный ответ на купленный в лоте вопрос увеличивается и составляет от 1500д. до 3000д. в зависимости от сложности вопроса. Вопрос формулируется лишь после того, как какая-либо команда купит лот.

«Неизвестные вопросы»:

1. Стартовая цена 100д., аукционный шаг 50д. Вопрос. Сформулируйте определение цилиндра.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Задание. Сформулируйте определение конуса.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Первоначальная стартовая цена 100д. Вопрос. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. На какие многогранники рассёкает треугольную призму плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания? [На две пирамиды: треугольную и четырехугольную (рис. 5).

1. «Сюрприз». Команда, купившая этот лот получает карточку, в которой написано: «Вы совершили удачную сделку, ваши наличные деньги увеличиваются на 50% ».

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. В результате вращения какой фигуры может быть получен усеченный конус?

1. Задание. Сформулируйте определение призмы.

1. Задание. Перечислите свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 3000д. Вопрос. Назовите все виды призм. В чем состоят их различия?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 2500д. Задание. Сформулируйте определения пирамиды и усеченной пирамиды.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ? Вопрос. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Из каких тел состоит тело , полученное вращением равнобедренной трапецией вокруг большего основания? [Полученное тело состоит из двух равных конусов и цилиндра].

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны основанию пирамиды?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 2000д. Вопрос. Сформулируйте определение шара, и сферы.

В конце игры аукционист просит всех участников подсчитать сумму наличных денег, вернуть взятый в банке кредит и 30 % годовых за пользование им (т. е. 1300д.). Победителем игры считается команда, у которой на руках осталось больше всего денег.

Все учащиеся выигравшей команды получают отличные оценки; отличные оценки выставляются также наиболее активным учащимся других команд, всем остальным учащимся оценка не выставляется.

Примечания.

Вопросы, сформулированные для двух туров аукциона можно заменить на более сложные и требующими развернутых ответов, или более простыми и доступными.

Количество вопросов в каждом туре можно увеличить или уменьшить в зависимости от времени, которым располагает учитель или от интереса учеников.

Игру-аукцион можно использовать также при изучении практически любого учебного предмета. Для этого нужно лишь продумать четкие и конкретные вопросы по уже пройденному материалу и распределить их по двум турам аукциона.

Дополнения.

Все команды, участвующие в аукционе, заводят свои лицевые счета. Приложение №2.

В графе «Приход» команды фиксируют все денежные поступления, в графе «Расход» указывают все выплаты, а в графе «Остаток» - оставшиеся на данный момент денежные средства.

Первая запись, которую делает в лицевом счёте каждая команда: в графе «Приход» фиксируется полученный в банке кредит (1000д.)

Например, члены команды №1 купили в первом туре вопрос 2, указав наибольшую сумму 350д. Значит, сразу же после покупки капитан команды (или какой-либо ее участник) в лицевом счете своей команды делает запись и вычисляет остаток денежных средств:

Если команда №1 правильно ответила На купленный вопрос, то она получает денежное вознаграждение 500д. (в соответствии с правилами первого тура аукциона) и делает третью запись в графе «Приход»:

Такие же лицевые счета находятся у члена жюри (счет той команды, работу которой он оценивает).

Таким образом, ведя постоянный учет, команда в любой момент игры видит реальный остаток своих денежных средств. Это удобно и для преподавателя, если возникает необходимости проверить кредитоспособность команды.

Если у какой-либо команды закончились денежные средства, капитан может с разрешения преподавателя получить в банке дополнительный кредит (не более 1000д.), но уже под 50 % годовых.

Список использованной литературы:

1. Кордемский Б А. Удивительный мир чисел. - М., Просвещение, 1986.
   

   Транскрипт

   1 Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Лекция Геометрическая фигура. Внутренние точки (существует окрестность, лежащая в фигуре), граничные точки (любая окрестность пересекается и с фигурой, и с дополнением), граница фигуры. Внутренность, замыкание фигуры. Канонически замкнутая фигура: = Геометрическое тело (ограниченное, канонически замкнутое, связное). Поверхность тела Многогранник. Вершины, ребра, грани. Выпуклые многогранники. Формула Эйлера для выпуклого многогранника. Правильные многогранники (платоновы тела). Вписанные и описанные многогранники Объем геометрического тела как функция, отображающая множество фигур в R +. Аксиомы инвариантности (объемы конгруэнтных фигур равны), монотонности, аддитивности, нормированности (объем единичного кубика) Призма. Площадь поверхности и объем прямой и наклонной призмы (в том числе с использованием перпендикулярного сечения) Пирамида и усеченная пирамида. Правильная пирамида, правильный тетраэдр. Основание высоты пирамиды в различных «хороших» случаях. Площадь поверхности и объем пирамиды и усеченной пирамиды: V yc. = 1 3 h S 1 + S 2 + p S 1 S 2. Лекция Тела вращения. Цилиндр. Прямой круговой цилиндр. Площадь поверхности и объем цилиндра Конус. Прямой круговой конус. Конические сечения. Усеченный конус. Площадь поверхности и объем конуса и усеченного конуса Сфера и шар. Объем шара. Площадь сферы («метод окрашивания»). Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор. 1

   2 Лекция Выпуклый многогранный угол. Трехгранный угол. Теорема об объемах треугольных пирамид с конгруэнтными трехгранными углами при вершине Плоские углы многогранного угла (неравенство треугольника < +), их сумма (она меньше 360 ; раздавим угол каблуком на плоскость) Теоремы синусов и косинусов для трехгранного угла. Пусть, плоские углы, а A, B, C двугранные (двугранный угол A «между» и). 1-я теорема косинусов. cos = cos cos + sin sin cos A. cos cos cos Следствие. cos A =. sin sin Теорема трех косинусов (еще одно следствие). Если две грани трехгранного угла перпендикулярны, то есть если A = 90, то cos = cos cos. 2-я теорема косинусов. cos A = cos B cos C+sin B sin C cos. Теорема синусов. sin sin A = sin sin B = sin sin C. Практика 1 1. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего ей бокового ребра. 2. В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 6. Найдите объем этой призмы, если известно, что в нее можно вписать шар. 3. Внутри куба расположены два равных касающихся друг друга шара. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех других граней куба. Найдите радиусы шаров, если ребро куба равно 1. 2

   3 4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а радиус вписанного шара 1/2. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды. 5. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Найдите объем пирамиды, а также радиусы вписанного и описанного шаров. 6. Найдите объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами 3, 4, 5, а двугранные углы при основании равны Найдите двугранный угол между соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что радиус вписанного в нее шара в три раза меньше стороны основания. Практика 2 8. Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять ребер которой равны 2, а одно ребро равно Ребро куба равно 1. Найдите объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в центрах трех смежных граней и в вершине куба, не принадлежащей этим граням. 10. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через D, C 1 и середину A 1 B 1, делит диагональ D 1 B? 11. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, AB = 3. Высота пирамиды равна 4 и проходит через середину AD. Найдите AD, если известно, что в пирамиду можно вписать шар. 12. Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности куба, соединяющего центр какой-либо грани куба с одной из вершин противоположной грани? (Ребро куба равно 1.) 3

   4 13. S и P площади двух смежных граней тетраэдра ABCD, a длина их общего ребра, величина угла между этими гранями. Докажите, что объем тетраэдра можно 2SP sin вычислить по формуле V =. 3a Практика Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. На ребре SA взята точка M так, что SM = 2AM. Через M и середины ребер SB и SD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? 15. В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через центры трех его смежных граней? Практика Радиусы двух шаров равны 2 и 5. Через их единственную общую точку проведена плоскость, площадь сечения которой меньшего шара равна 0,4. Найдите площадь сечения этой плоскостью большего шара. 17. Расстояние от центра верхнего основания цилиндра до плоскости нижнего основания цилиндра равно радиусу основания цилиндра и равно 6. Найдите расстояние от центра верхнего основания до хорды нижнего основания, стягивающей дугу Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 120. Вычислите объем конуса. 19. Определите площадь боковой поверхности и объем усеченного конуса с образующей, равной l, описанного около шара радиуса r. 4

   5 20. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего основания которого в a раз больше площади верхнего основания. Во сколько раз объем усеченного конуса больше объема шара? 21. Радиус основания конуса равен R, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определите объем конуса. 22. Радиус основания конуса равен R. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 90. Вычислите объем конуса. 23. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Определите отношение объемов полученных частей конуса. 24. В конус вписан шар. Докажите, что отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно отношению их объемов. Практика Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найдите отношение объемов этих тел. При каких значениях q задача не имеет решения? 26. Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на 8 частей. В каждую из этих частей вписано по маленькому шарику. Найдите отношение объема одного маленького шарика к объему исходного шара. 27. Пусть в условиях предыдущей задачи центры вписанных шариков являются вершинами некоторого многогранника. Найдите отношение объемов этого многогранника и исходного шара. 28. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся пря- 5

   6 моугольным треугольником. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса. 29. Диаметр основания цилиндра увеличили вдвое и одновременно уменьшили вдвое его высоту. Как изменились площадь боковой поверхности и объем цилиндра? 30. В конус высоты h с радиусом основания R впишите цилиндр с максимальной площадью боковой поверхности и найдите эту площадь. 31. Каждое ребро куба разделено на три конгруэнтные части. Докажите, что полученные двадцать четыре точки деления принадлежат одной сфере. Вычислите площадь поверхности этой сферы, если длина ребра куба равна Из бумажного прямоугольника со сторонами a и b склеивают боковую поверхность цилиндра. Какие стороны следует склеить между собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел наибольший объем? Практика Радиус основания цилиндра равен 1, а высота цилиндра равна p 2. Две вершины правильного треугольника расположены на границе одного основания цилиндра, а одна вершина на границе другого основания. Найдите сторону правильного треугольника. 34. * В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC, у которого AB = AC = 2, BAC = 30. Ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что существует конус, вершина которого совпадает с точкой A, а основание вписано в треугольник SBC. Найдите объем пирамиды. 35. * ABC правильный треугольник со стороной 3, M и K точки на BA и CA такие, что BM = CK = 1. Найдите объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг прямой MK. 6

   7 36. Высота конуса равна диаметру его основания. В конус вписан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а четыре на его боковой поверхности. Найдите отношение объемов куба и конуса. 37. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 1 и 2 вокруг диагонали. 38. Концы диагонали куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные вершины куба лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите отношение объемов цилиндра и куба. Указания, решения, ответы 34. Пусть точки K и H точки касания основания конуса (его центр обозначим буквой O, а радиус буквой r) со сторонами грани SBC, тогда по теореме о трех перпендикулярах имеем AK? SB, AH? BC. Заметим, что треугольник SAB является прямоугольным, так как по условию SA? (ABC). Обозначим также AK = a, AH = b, AS = h. По условию высота пирамиды, проведенная из вершины A, падает в центр окружности, вписанной в треугольник SBC, поэтому прямоугольные треугольники AOK и AOH равны, откуда a = b. Из треугольника p ABC по теореме косинусов легко находим, что BC = 2 2 p 3, после чего по теореме Пифагора из треугольника p AHB (учитывая, что H середина BC) получим a = b = 2 + p 3. Но a является длиной высоты прямоугольного треугольника SAB, опущенной из вершины прямого угла, поэтому она равна произведению катетов этого треугольника, деленному на гипоте- 7

   8 SA AB нузу. Таким образом, a = = p SB находим h = p 3 = 2(2 + p 3). 2h p h = p2 + p 3, откуда Дальнейшее несложно. Площадь основания пирамиды BAC равна 1 (легко находится как половина произведения двух сторон на синус угла между ними), высоту пирамиды h мы только что нашли. Ответ: 2 3 (2 + p 3). 35. Найдем сначала все величины, обозначенные на рисунке. Так как BM = 1, из желтого треугольника находим глубину конической «ямы»: x = 2 1. Зеленый треугольник, очевидно, равносторонний, поэтому H = BM = 1. Далее, h = 1 2 BC H = = = 1 2. Из желтого треугольника находим r = 3 p 2. Треугольник MKA правильный со стороной 2, а R длина его высоты, поэтому R = 2p 3 2 = p 3. Искомый объем равен 2(V 1 V 2 + V 3), где V 1 объем цилиндра с радиусом основания r и высотой H, V 2 объем конической «ямы» с радиусом основания r и высотой x, V 3 объем усеченного конуса с радиусами оснований R и r и высотой h. Используя найденные данные, находим: V 1 = 4 3, V 2 = 1 8, V 3 = 7 8. Ответ: 3. Практика * Докажите, что для того, чтобы в усеченный конус можно было вписать сферу, касающуюся оснований и каждой образующей конуса, необходимо и достаточно, чтобы длина высоты конуса была средним геометрическим между диаметрами верхнего и нижнего оснований конуса. 8

   9 40. Три шара попарно касаются, а плоскость касается этих шаров в точках A, B и C. Найдите радиусы этих шаров, если стороны треугольника ABC равны a, b и c. Указания, решения, ответы 39. Понятно, что данная задача планиметрическая. Пусть сфера вписана в конус требуемым образом; введем обозначения как показано на рисунке. Из желтого треугольника по теореме Пифагора имеем: h 2 + (R r) 2 = (R + r) 2, откуда h 2 = 4Rr, то есть h = p (2R)(2r), что и требовалось доказать. Докажем теперь утверждение в обратную сторону: из данного соотношения и теоремы Пифагора следует, что длина боковой стороны трапеции равна R + r, то есть сумма длин оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон и, следовательно, в трапецию можно вписать окружность. 9

   
   

   60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

   Самостоятельная работа «Цилиндр») Прямоугольник со сторонами, равными 3а и 2а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей

   Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

   11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16 1. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π Найти угол между диагоналями осевого сечения. 2. На поверхности шара

   И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР Москва 2008 1 ВВЕДЕНИЕ В настоящем пособии собраны задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей

   Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

   Тема 1. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости 78. Точки Р и Q середины соответственно рёбер А 1 В 1 и ВС куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. Считая ребро куба равным а, найти расстояния до прямой

   11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна а. Найти объем цилиндра, если известно, что его осевое сечение является квадратом. 2. В прямоугольной

   Задание 8 Стереометрия. Куб 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. 3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь

   Куб 1. Диагональ куба равна. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? Прямоугольный параллелепипед 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,

   Все прототипы задания В11 (2013) (25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). (25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного

   11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 1. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы и. Найти объём

   В8 все задачи из банка Площади поверхности Параллелепипед 27143. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности

   Вариант 17826051 1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника. 2. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен

   1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые). Прототипы заданий В10 2014 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь

   1. Прототип задания B13 (27054) выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины. Все прототипы заданий В13

   ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5) параллельно векторам a = (; ;5) и b = (4;3;0) Составьте уравнение плоскости, проходящей

   Три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

   Задание 17 Углы и расстояния в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми. 1. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M середина ребра BC, L середина

   11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 1 1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной a, длина бокового ребра равна b, одно из боковых ребер образует с прилежащими

   Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

   ПРОТОТИПЫ В9 (всего 167) 1 Найдите площадь поверхности 6 Найдите площадь поверхности 2 Найдите площадь поверхности 4 Найдите площадь поверхности 7 Найдите площадь поверхности 3 Найдите площадь поверхности

   1. Прототип задания 12 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий 12

   1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 9 2015 года 8 25681 Найдите площадь поверхности 2 25561 Найдите площадь поверхности 9 25701 Найдите площадь поверхности 3 25581

   Контрольный экзамен в формате ЕГЭ по программе ЕГЭ 2017 г. по дисциплине "математика"в формате прототипов заданий. Ответ - строка в бланке для записи кратких ответов. ФИО: дата: Задание 6 1. В равнобедренном

   1. Прототип задания B13 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий

   1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 8 2016 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь поверхности 9 25701

   1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 8 2016 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь поверхности 4 25601

   Задания В11 245354 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра 245358 Длина окружности

   Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

   Тематическое планирование учебного материала по геометрии класс. урока пункта Тема. Количество часов. 3-4 5-6 7 8-9 0 39 40 4-43 44 45 46 5Многогранники Двугранный угол Трёхгранный и многогранный углы

   Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

   Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

   Задание В13 ЕГЭ 2014 Задание Ответ 1 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 4 Прямоугольный параллелепипед

   ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

   МОДУЛЬ 0 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.». Декартовы координаты и векторы в пространстве.. Многогранники. 3. Тела вращения. 4. Объемы многогранников 5. Объемы

   ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

   2012 Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2012 А.С. Крутицких и Н.С.

   Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

   Вариант I 1) Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции 7 5. Найдите боковую сторону. 2) Чему вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

   1. Прототип задания B9 (245359) Все прототипы В5 2013 года Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,. 2. Прототип задания B9 (245360) Найдите расстояние

   Теорема о трех синусах и другие креативные методы нахождения углов и расстояний в стереометрии (К решению задач С ЕГЭ по математике) В задачах группы С ЕГЭ по математике, присутствует стандартный набор

   Тема: Тела вращения. Комбинация фигур. Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 14) Задание 8. 1. В цилиндрический сосуд налили 2000 см 3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь.

   В.А. Смирнов 1. Распознавание фигур 1. Какой многогранник называется кубом? 2. Сколько у куба вершин, ребер, граней? 3. Изобразите куб на клетчатой бумаге. 4. Какой многогранник называется параллелепипедом?

   Задание 8, 4. Стереометрия Основные определения Аксиомы стереометрии Теорема. Через любые три точки, не лежащих на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Теорема. Если две точки прямой

   И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

   КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С. 014 Г.ЛЕ С О З А В О Д С К Пояснительная записка Данное учебно-методическое

   Стартовая контрольная работа Контрольная работа 1(на 20 мин) 1. Найдите координаты вектора АВ, если А (5; 1; 3), В (2; 2; 4). 2. Даны векторы b (3; 1; 2) и c 2b c (1; 4; 3). Найдите. 3. Изобразите систему

   Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

   Среднее (полное) общее образование М.И.Башмаков Математика 11 класс Сборник задач 3-е издание УДК 372.851(075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 класс. Сборник задач: среднее (полное)

   Прототипы заданий 132017 года 1 25541 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности многогранника (все многогранника, изображенного на рисунке (все 2 25561 Найдите площадь поверхности

   1. Прототип задания B13 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 2. Прототип задания B13

   Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

   Тест по теме 69 «Комбинированные задачи» 1. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 32 128 0 2.

   РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 0- КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 0- классы составлена в соответствии федеральным компонентом государственного стандарта общего образования

   1 I Аннотация 1 Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики Цель и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является:

   А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ. 0 КЛАССЫ» Базовый уровень (,5 ч в неделю) Номера пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Аксиомы

   08. Стереометрия Часть 1. ФИПИ (www.fipi.ru) + Другие источники (*) I) Параллелепипед 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=6, BC=5, AA1=4. Найдите объём многогранника, вершинами

   Решение задач типа С2 при подготовке к ЕГЭ 1В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер, Найдите объем пирамиды если M точка на ребре, причем Заметим, что Площадь прямоугольного треугольника, лежащего

   Контрольные вопросы В вопросах 8 рассматриваются точки A (; ;), B(; 4; 0) и плоскость α, заданная уравнением x 4 y z 48 = 0. (). Найти угол между прямой AB и плоскостью α. (). Составить уравнение плоскости,

   Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

   Комбинации тел 1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. 2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус

   Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B(1; 1; 1) до начала

   Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

   РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 7 Задачи по стереометрии методические указания для абитуриентов физического факультета Ростов-на-Дону 00 Печатается по решению учебнофакультета РГУ методической комиссии

   Все прототипы задания В9 (2013) (245359) Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,. (245360) Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда,

   1. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке. Площадь треугольника равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка. 2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания

   И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.

   П/п Условие задачи Стереометрия В 10 1. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Ответ:24 Решение 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

   Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

   Сборник заданий С Пирамида Ответ Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 08, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна. Найдите площадь сечения, проходящего через

   Студент должен:

   знать:

   понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника;

   определение призмы, параллелепипеда; виды призм; определение пирамиды, правильной пирамиды;

   понятие тела вращения и поверхности вращения;

   определение цилиндра, конуса, шара, сферы;

   уметь:

   изображать и вычислять основные элементы прямых призм, параллелепипедов и пирамид;

   строить простейшие сечения многогранников, указанных выше.

   Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

   Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

   Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида . Тетраэдр.

   Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

   Сечения куба, призмы и пирамиды.

   Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

   Цилиндр и конус. Усеченный конус . Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

   Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

   Тема 9. «Начала математического анализа»

   Студент должен:

   знать:

   определение числовой последовательности;

   понятие производной, ее геометрический и физический смысл;

   правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;

   уравнение касательной к графику функции в указанной точке, понятие углового коэффициента прямой;

   достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;

   определение второй производной, ее физический смысл;

   общую схему исследования функций и построения графиков с помощью производной;

   правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

   определение первообразной;

   таблицу и правила вычисления первообразных;

   понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;

   понятие криволинейной трапеции, способ вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной и определенного интеграла;

   уметь:

   дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;

   вычислять значение производной функции в указанной точке;

   находить угловой коэффициент касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в указанной точке;

   применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

   находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;

   находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

   решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин;

   вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;

   вычислять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;

   вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

   находить площади криволинейных трапеций.

   Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

   Понятие о непрерывности функции.

   Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции .

   Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

   Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.